Question

【题目】如图，椭圆：的离心率为，设，分别为椭圆的右顶点，下顶点，的面积为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知不经过点的直线：交椭圆于，两点，线段的中点为，若，求证：直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）根据离心率为， 的面积为1.，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 ，即可得结果；（2）由，可得线段为外接圆的直径，即，联立，利用平面向量数量积公式、结合韦达定理可得或，直线的方程为或，从而可得结论.

（1）由已知，，，可得，

又因为，即，所以，即，，

所以椭圆的方程为.

（2）由题意知，因为，

所以，所以线段为外接圆的直径，即，

联立，得，

，设，，则

，， ①又因为，

即，

又，，，

即， ②

把①代入②得：

得或，

所以直线的方程为或，

所以直线过定点或（舍去），

综上所述直线过定点.