Question

【题目】已知椭圆的离心率为，经过点B（0，1）．设椭圆G的右顶点为A，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．

（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；

（Ⅱ）是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据离心率为的椭圆过点，结合，列出、、 的方程，即可得到椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设，则，经分析可知要使的面积是的3倍，等价于

，由此可表示出点的坐标，由点在线段上与点在椭圆上分别代入直线与椭圆的方程化简可得到关于的一元二次方程，解方程即可知是否存在直线，使得的面积是的面积的3倍．

（Ⅰ）由题意可知：，解得．

∴椭圆G的标准方程为．

（Ⅱ）设，则，可知．

若使的面积是的面积的3倍，只需使得，

即，即．

由 ，∴直线的方程为．

∵点在线段上，∴，整理得，①

∵点在椭圆上，∴，②把①式代入②式可得，

∵判别式小于零，该方程无解．∴不存在直线，使得的面积是的面积的3倍．