Question

13．关于x的不等式x²-ax-a²+1＜0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是{a|-$\frac{\sqrt{65}}{5}$≤a＜-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，或$\frac{2\sqrt{10}}{5}$＜a≤$\frac{\sqrt{65}}{5}$}．

Answer 1

分析 求出不等式x²-ax-a²+1＜0的解集A，利用A中恰有两个整数，得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．

解答 解：∵不等式x²-ax-a²+1＜0，
∴判别式△=（-a）²-4（-a²+1）=a²+4a²-4=5a²-4＞0，
解得a＜-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，或a＞$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
∴不等式x²-ax-a²+1＜0的解集为
A={x|$\frac{a-\sqrt{{5a}^{2}-4}}{2}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{5a}^{2}-4}}{2}$}，
又∵A中恰有两个整数，不妨设A=（m，n），则有2＜n-m≤3，
即2＜$\frac{a+\sqrt{{5a}^{2}-4}}{2}$-$\frac{a-\sqrt{{5a}^{2}-4}}{2}$≤3，
∴4＜5a²-4≤9，
解得-$\frac{\sqrt{65}}{5}$≤a＜-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，或$\frac{2\sqrt{10}}{5}$＜a≤$\frac{\sqrt{65}}{5}$；
综上，实数a的取值范围是{a|-$\frac{\sqrt{65}}{5}$≤a＜-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，或$\frac{2\sqrt{10}}{5}$＜a≤$\frac{\sqrt{65}}{5}$}．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．