Question

3．设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＞0恒成立，则称函数y=f（x）在（a，b）上为“凹函数”．若f（x）=x²-ae^x+2是（-∞，0）上的“凹函数”，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 f（x）=x²-ae^x+2是（-∞，0）上的“凹函数”，可得在（-∞，0）上，f″（x）＞0恒成立，利用导数的运算法则分别可得f′（x），f^″（x），转化为$a＜（\frac{2}{{e}^{x}}）_{min}$，x∈（-∞，0）．即可得出．

解答 解：f′（x）=2x-ae^x，f^″（x）=2-ae^x，
∵f（x）=x²-ae^x+2是（-∞，0）上的“凹函数”，
∴在（-∞，0）上，f″（x）＞0恒成立，
∴2-ae^x＞0在（-∞，0）上恒成立，
∴$a＜（\frac{2}{{e}^{x}}）_{min}$，x∈（-∞，0）．
∵$\frac{2}{{e}^{x}}$＞2，
∴a≤2．
∴实数a的取值范围是（-∞，2]．

点评 本题考查了“凹函数”的定义及其性质、导数的运算法则、恒成立问题的等价转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．