Question

【题目】湖北省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到、、、、五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：

等级	A	B	C	D	E
比例	15%	35%	35%	13%	2%
赋分区间

而等比例转换法是通过公式计算：，其中、分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示转换分，当原始分为、时，等级分分别为、，假设小明同学的生物考试成绩信息如下表：

考试科目	考试成绩	成绩等级	原始分区间	等级分区间
生物	75分	B等级

设小明转换后的等级成绩为T，根据公式得：，所以（四舍五入取整），小明最终生物等级成绩为77分.已知某学校学生有60人选了政治，以期中考试成绩为原始成绩转换该学校选政治的学生的政治等级成绩，其中政治成绩获得A等级的学生原始成绩统计如下表：

成绩	90	86	81	80	79	78	75
人数	1	2	1	1	2	1	1

（1）从政治成绩获得A等级的学生中任取3名，求至少有2名同学的等级成绩不小于93分的概率；

（2）从政治成绩获得A等级的学生中任取4名，设4名学生中等级成绩不小于93分人数为，求的分布列和期望.

Answer 1

【答案】（1）（2）见详解

【解析】

（1）根据已知可得，等级的学生原始分区间的最低和最高分为和，等级分区间的最低和最高分为和，设政治成绩获得等级的学生原始成绩为，等级成绩为，利用转换公式可得，由等级成绩不小于，可求出原始成绩，对照原始成绩表，再计算概率即得；（2）由（1）知等级成绩不小于分人数为人，获得等级的学生有人，可得的可能取值为，计算出对应的概率，可得分布列，再由期望的计算公式，即得.

（1）设政治成绩获得等级的学生原始成绩为，等级成绩为，由转换公式得，即，则，解得.

根据成绩统计表显示满足的同学只有人，获得等级的学生有人，故从政治成绩获得等级的学生中任取名，至少有名同学的成绩不小于分的概率为.

（2）由题意，等级成绩不小于分人数为人，获得等级的学生有人，的可能取值为，则，，，，所以的分布列为：

则的期望为：.