Question

【题目】如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A，B，D三点，CB的延长线交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变，但在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．

(1)连接图中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段CE相等，并说明理由；

(2)若CF＝CD，求sin F的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：

(1)AE＝CE.理由如下：连接AE，则AE＝CE.结合圆的直径可知∠ADE＝90°，则AE＝CE；

(2)设CF＝x，则FA＝3x，FD＝2x，AD＝x.计算可得FE＝，则.

试题解析：

(1)连接AE，则AE＝CE.

∵∠ABE＝90°，

∴AE为直径，连接DE.

则∠ADE＝90°，

又AD＝CD，

∴AE＝CE.

(2)设CF＝x，

则FA＝3x，FD＝2x，AD＝x.

∵FE为⊙O的切线，

∴AE⊥EF.

∴DE2＝AD·DF＝2x2，

即DE＝x.

FE2＝FD·FA＝2x·3x＝6x2，

即FE＝x.

∴sinF＝＝＝.