题目内容
【题目】如图，在四面体
中，
，
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
(1) 设
为
的中点，连接
，
.易知
，从而
平面
，故平面
平面；（2）以为原点，
，，分别为
轴、
轴、
轴、建立空间直角坐标系
.求出直线的方向向量，平面
的法向量，代入公式即可得到直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：设为的中点，连接，.
∵是的中点，
∴在
中，
，即为等边三角形，
∴
，∴
.
在
中，
，
，
∴
，且
，
于是
，可知
.
∵
，∴平面，
∵
平面
，∴平面平面.
（2）解：由（1）知，
，，两两垂直，以为原点，，，分别为轴、轴、轴、建立空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
设平面的法向量
，
，
，
则
，令
，得
，又
.
设直线与平面所成角为
，
则
，即直线与平面所成角的正弦值为.
【题目】已知某校6个学生的数学和物理成绩如下表：
学生的编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
数学 | 89 | 87 | 79 | 81 | 78 | 90 |
物理 | 79 | 75 | 77 | 73 | 72 | 74 |
（1）若在本次考试中，规定数学在80分以上（包括80分）且物理在75分以上（包括75分）的学生为理科小能手.从这6个学生中抽出2个学生，设
表示理科小能手的人数，求的分布列和数学期望；
（2）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用
表示数学成绩，用
表示物理成绩，求与的回归方程.
参考数据和公式：
，其中
，
.
【题目】某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理，化学，生物，历史，地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．
某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
性别 | 选考方案确定情况 | 物理 | 化学 | 生物 | 历史 | 地理 | 政治 |
男生 | 选考方案确定的有8人 | 8 | 8 | 4 | 2 | 1 | 1 |
选考方案待确定的有6人 | 4 | 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
女生 | 选考方案确定的有10人 | 8 | 9 | 6 | 3 | 3 | 1 |
选考方案待确定的有6人 | 5 | 4 | 1 | 0 | 0 | 1 |
（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人?
（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；
（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量
，求
．
