题目内容
【题目】已知点及圆
:
.
(1)若直线过点
且与圆心
的距离为1,求直线
的方程;
(2)若过点的直线
与圆
交于
、
两点,且
,求以
为直径的圆的方程;
(3)若直线与圆
交于
,
两点,是否存在实数
,使得过点
的直线
垂直平分弦
?若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),
;(2)
;(3)见解析
【解析】
(1)分两种情况:当直线的斜率存在时,设出直线的斜率k,由P的坐标和设出的k写出直线
的方程,利用点到直线的距离公式表示出P到直线
的距离d,让d等于1列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,利用求出的k和P写出直线
的方程即可,当直线
的斜率不存在时,得到直线
的方程,经过验证符合题意;
(2)利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离,再根据弦长的一半及半径,利用勾股定理求出项心距d,发现
与d相等,得到P为MN的中点,所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标,半径为
的一半,根据圆心和半径写出圆的方程即可;
(3)关于是否存在类问题,假设是存在的,根据条件,列出等量关系式,求得结果即可.
(1)圆C的圆心为,半径
,
当的斜率存在时,设直线
的斜率为
, 则方程为
.
依题意得 ,
解得. 所以直线
的方程为
,即
.
当的斜率不存在时,
的方程为
,经验证
也满足条件.
(2)由于,
而弦心距,
所以
.
所以为
的中点.
故以为直径的圆
的方程为
.
(3)直线即
,代入圆
的方程,消去
,整理得
.
由于直线交圆
于
两点,
故,
解得. 则实数
的取值范围是
.
若存在实数,使得过点
的直线
垂直平分弦
,则圆心
必在
上.
所以的斜率
,
而,所以
.
由于,
故不存在实数,使得过点
的直线
垂直平分弦
.
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