题目内容
【题目】某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少,从第2年到第6年,每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M的价值为上年初的75%.
(1)求第n年初M的价值an的表达式;
(2)设An=.若An大于80万元,则M继续使用,否则须在第n年初对M更新.证明:须在第9年初对M更新.
【答案】(1)an=;(2)见解析.
【解析】(1)当n≤6时,数列是首项为120,公差为-10的等差数列,
∴=120-10(n-1)=130-10n;
当n≥6时,数列是以
为首项,公比为
的等比数列,
又=70,
所以.
综上可得第n年初,M的价值的表达式为
.
(2)证明:设表示数列
的前n项和,由等差及等比数列的求和公式,得
①当1≤n≤6时,,
∴;
∴数列是递减数列,故
,M可继续使用.
②当n≥7时,由于,故
,
∴,
易知数列是递减数列.
又,
所以需在第9年初对M更新.
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