题目内容
3.已知平面向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=1,则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|的最小值为$\sqrt{11}$.分析 把$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=1,代入|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$,再利用基本不等式的性质即可得出.
解答 解:∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=1,
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+1+2+4+2}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+9}$$≥\sqrt{2|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|+9}$=$\sqrt{11}$,当且仅当$|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|$=1时取等号.
故答案为:$\sqrt{11}$.
点评 本题考查了向量数量积运算性质、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
A. | 5 | B. | -5 | C. | -2.5 | D. | 2.5 |