Question

15．使命题p“不等式$\frac{a+\frac{1}{2}}{a-1}$＜0”为真命题的a的集合为P，使命题q：“函数g（x）=$\sqrt{a{x}^{2}-ax+1}$的定义域为R“为真命题的a的集合为Q．
（1）求集合P和Q：
（2）若命题p和q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）命题p“不等式$\frac{a+\frac{1}{2}}{a-1}$＜0”为真命题，可化为$（a-1）（a+\frac{1}{2}）$＜0，解得可得集合P．使命题q：“函数g（x）=$\sqrt{a{x}^{2}-ax+1}$的定义域为R“为真命题，a=0时满足，a≠0；可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$，解得a可得集合Q．
（2）命题p和q中至少有一个为真命题，可得实数a的取值范围为P∪Q．

解答 解：（1）命题p“不等式$\frac{a+\frac{1}{2}}{a-1}$＜0”为真命题，可化为$（a-1）（a+\frac{1}{2}）$＜0，解得$-\frac{1}{2}＜a＜1$．可得集合P=$（-\frac{1}{2}，1）$．
使命题q：“函数g（x）=$\sqrt{a{x}^{2}-ax+1}$的定义域为R“为真命题，a=0时满足，a≠0；可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$，解得0＜a≤4．
∴集合Q=[0，4]．
（2）命题p和q中至少有一个为真命题，可得实数a的取值范围为P∪Q=$（-\frac{1}{2}，1）$∪[0，4]．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．