题目内容
【题目】已知函数
.
（1）若曲线
在点
处的切线与直线
平行，求
的值；
（2）在（1）条件下，求函数
的单调区间和极值；
（3）当
，且
时，证明：
.
【答案】（1）0；（2）
的单调递增区间是
，单调递减区间是
，极大值为
；（3）证明见解析.
【解析】
（1）求导得到
，代入计算
得到答案.
（2）求导得到
，的变化情况表，得到单调区间和极值.
（3）证明等价于
，设
，求导得到函数单调递增，计算最小值得到证明.
（1）函数的定义域为
，所以.
又曲线
在点
处的切线与直线
平行，
所以，即
.
（2）令
，得
，当
变化时，，的变化情况如下表：
|
|
|
|
| + | 0 | - |
|
| 极大值 |
|
由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是，
所以在处取得极大值，的极大值为.
（3）当
时，
.由于
，要证
，
只需证明，令，则
.
因为
，所以
，故
在
上单调递增，
当时，
，即成立．
故当时，有
，即
.
【题目】某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）
（1）应收集多少位女生样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：
.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有
的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附：
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
【题目】手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）
年龄段 | [15，25） | [25，35） | [35，45） | [45，55） | [55，65） | [65，75] |
频率 | 0.1 | 0.32 | 0.28 | 0.22 | 0.05 | 0.03 |
使用人数 | 8 | 28 | 24 | 12 | 2 | 1 |
（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？
年龄低于45岁 | 年龄不低于45岁 | |
使用手机支付 | ||
不使用手机支付 |
（2）若从年龄在[55，65），[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考数据：
P（K2≥k0） | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式：
．
