题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论在
上的零点个数;
(2)当时,若存在
,使
,求实数
的取值范围.(
为自然对数的底数,其值为2.71828……)
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)构造函数,先将讨论
在
上的零点个数问题,转化为讨论直线
与曲线
的交点个数问题,用导数方法研究函数
单调性,求出值域,即可得出结果;
(2)根据(1)的结果,由求出零点,得到
,再由题意得到
成立,构造函数
,用导数方法研究其单调性,进而可求出结果.
(1)由得
,令
,
因此讨论在
上的零点个数,即是讨论直线
与曲线
的交点个数,
∵,
在
上恒成立,
故在
上单调递增,
,
又连续不断,所以当
时,
在
上无零点;
当时,
在
上存在一个零点.
(2)当时,由(1)得
在
上存在一个零点,
由得
,
由(1)可得在
上单调递减,在
上单调递增;
所以,
又存在,使
成立,
所以,只需成立,即
不等式成立,
令,
则,
易知在
上恒成立,
故在
上单调递增
又,所以
.
故实数的取值范围为
.
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