题目内容
6．证明函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$在（2，+∞）上是增函数．分析 根据增函数的定义，设任意的x1＞x2＞2，然后作差，通分，提取公因式x1-x2，从而证明f（x1）＞f（x2）即可得出f（x）在（2，+∞）上是增函数．
解答 证明：设x1＞x2＞2，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{4}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{4}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x1＞x2＞2；
∴x1-x2＞0，x1x2＞4，$1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）$＞0；
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（2，+∞）上是增函数．
点评 考查增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差之后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x1-x2，不等式的性质．
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