题目内容

15.若数列{an}的前n项和Sn=$\frac{2}{3}$an+$\frac{1}{3}$,则数列{an}的通项公式是an=(-2)n-1.若本题条件不变,则Sn=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+{2}^{n}}{3},}&{n为奇数}\\{\frac{1-{2}^{n}}{3},}&{n为偶数}\end{array}\right.$.

分析 利用an=Sn-Sn-1化简、整理可知an=-2an-1(n≥2),进而可知数列{an}是首项为1、公比为-2的等比数列,分n为奇数、偶数两种情况讨论求和即得结论.

解答 解:∵Sn=$\frac{2}{3}$an+$\frac{1}{3}$,
∴an=Sn-Sn-1
=($\frac{2}{3}$an+$\frac{1}{3}$)-($\frac{2}{3}$an-1+$\frac{1}{3}$)
=$\frac{2}{3}$an-$\frac{2}{3}$an-1
整理得:an=-2an-1(n≥2),
又∵S1=$\frac{2}{3}$a1+$\frac{1}{3}$,即a1=1,
∴数列{an}是首项为1、公比为-2的等比数列,
∴an=(-2)n-1
∴数列{an}中奇数项是首项为1、公比为4的等比数列,数列{an}中偶数项是首项为-2、公比为4的等比数列,
当n为奇数时,Sn=$\frac{1-{4}^{\frac{n+1}{2}}}{1-4}$-$\frac{2(1-{4}^{\frac{n-1}{2}})}{1-4}$=$\frac{1+{2}^{n}}{3}$;
当n为偶数时,Sn=$\frac{1-{4}^{\frac{n}{2}}}{1-4}$-$\frac{2(1-{4}^{\frac{n}{2}})}{1-4}$=$\frac{1-{2}^{n}}{3}$;
综上所述,Sn=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+{2}^{n}}{3},}&{n为奇数}\\{\frac{1-{2}^{n}}{3},}&{n为偶数}\end{array}\right.$,
故答案为:(-2)n-1,$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+{2}^{n}}{3},}&{n为奇数}\\{\frac{1-{2}^{n}}{3},}&{n为偶数}\end{array}\right.$.

点评 本题考查数列的通项及前n项和,考查分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于中档题.

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