Question

18．已知函数f（x）的反函数是f^-1（x），g（x）的反函数为g^-1（x）．
（1）求证f（g（x））的反函数为g^-1（f^-1（x））；
（2）F（x）=f（-x），G（x）=f^-1（-x），若F（x）是G（x）的反函数，求证：f（x）是奇函数．

Answer 1

分析 （1）令t=g（x），则y=f（g（x））=f（t），结合函数f（x）的反函数是f^-1（x），g（x）的反函数为g^-1（x），可得g^-1（f^-1（y））=x，从而得到f（g（x））的反函数为g^-1（f^-1（x））；
（2）由已知中G（x）=f^-1（-x），若F（x）是G（x）的反函数，可得F（x）与f（x）的图象关于x轴对称，即F（x）=-f（x），结合F（x）=f（-x），可得f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数．

解答 证明：（1）∵函数f（x）的反函数是f^-1（x），g（x）的反函数为g^-1（x）．
令t=g（x），则y=f（g（x））=f（t），
则g^-1（t）=x．f^-1（y）=t，
即g^-1（f^-1（y））=x，
即f（g（x））的反函数为g^-1（f^-1（x））；
（2）∵F（x）=f（-x），…①
故函数F（x）与f（x）的图象关于y轴对称，
又∵G（x）=f^-1（-x），
∴G（x）与f^-1（x）的图象关于y轴对称，
故G（x）的图象由f（x）的图象逆时针旋转90°得到，
又∵F（x）是G（x）的反函数，
故F（x）与G（x）的图象关于y=x轴对称，
故F（x）与f（x）的图象关于x轴对称，
即F（x）=-f（x），…②
由①②得：f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函数

点评 本题考查的知识点是反函数，函数图象的对称变换，函数的奇偶性，本题比较抽象，难度较大．