Question

1．在△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cosBsinA-2sinA=sin（A-B），且a=2，cosC=$\frac{1}{4}$，求b及△ABC的面积．

Answer 1

分析 先通过正弦定理可求得a和c的关系式，同时利用余弦定理求得a和c的另一关系式，最后联立求得b和c，利用三角形面积公式即可求得答案．

解答 解：∵2cosBsinA-2sinA=sin（A-B），可得：2cosBsinA-2sinA=sinAcosB-cosAsinB，
∴整理可得sinC=2sinA，由正弦定理可得：c=2a，①
由余弦定理可知cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{4}$，②
再由a=2，①②联立求得b=4，c=4，
sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\sqrt{15}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理和三角函数中恒等变换的应用．考查了学生基本分析问题的能力和基本的运算能力．