题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
＋
＝1(a>b>0)的离心率为
，椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(
－1)．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 已知过点M(0，－1)的动直线l与椭圆C交于A，B两点，试判断以线段AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．
【答案】(1)
＋
＝1；(2)过定点，理由见解析．
【解析】
(1) 椭圆上动点P(x0，y0)到左、右焦点的距离的最小值为a－c，结合离心率可求得
，从而可得
，得椭圆标准方程；
(2) 先根据直径AB竖直和水平两种情况，猜出定点可能为D(0，3)，再考虑
是否为零．
(1) 由题意，得
解得
所以b2＝a2－c2＝9.
椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2) 当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝9；
当直线l的斜率为零时，以AB为直径的圆的方程为x2＋(y＋1)2＝16.
这两圆仅有唯一公共点，也是椭圆的上顶点D(0，3)．猜想以AB为直径的圆恒过定点D(0，3)．
证明如下：
(向量法) 设直线l的方程为y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．只要证＝x1x2＋(y1－3)(y2－3)＝x1x2＋(kx1－4)(kx2－4)＝0即可．
即要证＝(1＋k2)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝0.
由
消去y，得(1＋2k2)x2－4kx－16＝0，
Δ＝16k2＋64(1＋2k2)>0，此方程总有两个不等实根x1，x2.
所以x1＋x2＝
，x1x2＝
.
所以＝(1＋k2)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝
－
＋16＝0.
所以DA⊥DB，所以，以AB为直径的圆恒过定点D(0，3)．
【题目】电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧 | 连续剧播放时长/min | 广告播放时长/min | 收视人次/万人 |
甲 | 70 | 5 | 60 |
乙 | 60 | 5 | 25 |
电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于
,广告的总播放时长不少于
,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍,分别用
,
表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数,要使总收视人次最多,则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ）
A.6,3B.5,2C.4,5D.2,7
