题目内容

【题目】已知椭圆的焦距为8,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。

(1)求的方程;

(2)设的左焦点,为直线上任意一点,过点的垂线交于两点,.

(i)证明:平分线段(其中为坐标原点);

(ii)当取最小值时,求点的坐标。

【答案】(1);(2)见解析

【解析】

(1)由已知,根据椭圆的焦距为8,其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形,求得的值,即可求得椭圆的方程;

(2)(ⅰ)设点的坐标为,验证当时,平分显然成立;当由直线的方程和椭圆的方程联立方程组,求解中点的坐标,即可得到结论;

(ⅱ)由(ⅰ)可知,求得,得到,利用基本不等式,即可求解.

1)由已知,得. 因为易解得.

所以,所求椭圆的标准方程为

(2)设点的坐标为

时,轴垂直的中点平分显然成立

由已知可得:

则直线的方程为:

消去得:

中点的坐标为

在直线.

综上平分线段

时,

时,由可知

/span>

(当且仅当,即时等号成立),

∴点的坐标为

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网