Question

1．设α为锐角，则“tanα＞2”是“-$\frac{4}{3}$＜tan2α＜0”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据充分条件和必要条件的定义，结合正切函数的图象和性质以及一元二次不等式的解法进行求解即可．

解答 解：由tanα＞2，α为锐角得60°＜arctan2＜α＜90°，则120°＜2α＜180°则tan（2arctan2）＜tan2α＜0，而tan（2arctan2）=-$\frac{4}{3}$＜0，所以，有“-$\frac{4}{3}$＜tan2α＜0”；
充分性成立．
∵α为锐角，∴0°＜2α＜180°，
∵-$\frac{4}{3}$＜tan2α＜0，
∴90°＜2α＜180°，则45°＜α＜90°，则tanα＞1
由-$\frac{4}{3}$＜tan2α＜0得-$\frac{4}{3}$＜$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$，
即-$\frac{4}{3}$（1-tan²α）＞2tanα，
即2tan²α-3tanα-2＞0，
解得tanα＞2或tanα$＜-\frac{1}{2}$（舍），即必要性成立，
故“tanα＞2”是“-$\frac{4}{3}$＜tan2α＜0”的充分必要条件，
故选：C

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合正切函数的图象和性质以及一元二次不等式的解法是解决本题的关键．