Question

16．已知M是△ABC内一点，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，若△MBC、△MAB、△MAC的面积分别为$\frac{1}{2}$、x、y．
（1）求△ABC的面积S的值；
（I2）求$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，可得$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$cos30°=2$\sqrt{3}$，可得$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$，即可得出S=$\frac{1}{2}AB•ACsinA$．
（2）由1═S_△MBC+S_△MAB+S_△MAC，可得x+y=$\frac{1}{2}$．利用$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$=2（x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{4}{y}）$=2$（5+\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}）$，基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，
∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$cos30°=2$\sqrt{3}$，
∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$=4，
由题意可得：S=$\frac{1}{2}AB•ACsinA$=$\frac{1}{2}×4×sin3{0}^{°}$=1．
（2）由1═S_△MBC+S_△MAB+S_△MAC，
∴1=$\frac{1}{2}$+x+y，
化为x+y=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$=2（x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{4}{y}）$=2$（5+\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}）$≥2$（5+2\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}）$=18，当且仅当y=2x=$\frac{1}{3}$取等号．
∴$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$的最小值为18．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．