题目内容
11.已知数列{an}.(1)若a1=1,an+1=4an+1,求通项公式;
(2)若an=(2n-1)2n-1,求{an}的前n项和.
分析 (1)通过对an+1=4an+1变形可知an+1+$\frac{1}{3}$=4(an+$\frac{1}{3}$),进而可知数列{an+$\frac{1}{3}$}是以$\frac{4}{3}$为首项、4为公比的等比数列,计算即得结论;
(2)通过an=(2n-1)2n-1可知Sn=a1+a2+…+an=1•20+3•21+5•22+…+(2n-1)2n-1、2Sn=1•21+3•22+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,利用错位相减法计算即得结论.
解答 解:(1)∵an+1=4an+1,
∴an+1+$\frac{1}{3}$=4(an+$\frac{1}{3}$),
又∵a1+$\frac{1}{3}$=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$,
∴数列{an+$\frac{1}{3}$}是以$\frac{4}{3}$为首项、4为公比的等比数列,
∴an+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$•4n-1=$\frac{1}{3}$•4n,
∴an=$\frac{1}{3}$•4n-$\frac{1}{3}$;
(2)∵an=(2n-1)2n-1,
∴Sn=a1+a2+…+an=1•20+3•21+5•22+…+(2n-1)2n-1,
∴2Sn=1•21+3•22+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,
两式相减得:-Sn=1+2(21+22+…+2n-1)-(2n-1)2n
=1+2•$\frac{2(1-{2}^{n-1})}{1-2}$-(2n-1)2n
=1-4+2•2n-(2n-1)2n
=-3-(2n-3)2n,
∴Sn=3+(2n-3)2n.
点评 本题考查数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
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