Question

1．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）＜0与f（m+3）＞0同时成立，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据条件可判断出a＞0，c＜0，从而判别式△＞0，这样便可得出f（x）的图象与x轴有两个交点；
（2）根据题意，只需判断关于m的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{f（m）＜0}\\{f（m+3）＞0}\end{array}\right.$是否有解，有解则说明存在m∈R，使得f（m）＜0与f（m+3）＞0同时成立，否则不存在．

解答 解：（1）f（1）=0；
∴a+b+c=0；
∴a＞0，c＜0；
∴对于二次函数f（x），△=b²-4ac＞0；
∴f（x）的图象和x轴有2个交点；
（2）令f（m）=am²+bm+c=am²+bm-（a+b）＜0①；
f（m+3）=a（m+3）²+b（m+3）+c=am²+（b+6a）m+2b+8a＞0②；
①②都是关于m的一元二次不等式；
解①得，$\frac{-a-b}{a}＜x＜1$，解②得，$x＜\frac{-b-4a}{a}，或x＞-2$；
$\frac{-a-b}{a}=\frac{c}{a}＜0$；
∴不等式①②有公共解；
即存在m∈R，使得f（m）＜0与f（m+3）＞0同时成立．

点评 考查二次函数的图象和x轴交点的个数和判别式△的关系，解一元二次不等式，以及利用求根公式解一元二次方程．