题目内容

11.已知△ABC的三边长分别为AB=5,BC=4,AC=3,M是AB边上的点,P是平面ABC外一点,给出下列四个命题:
①若PA⊥平面ABC,则三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形;
②若PM⊥平面ABC,且M是AB边的中点,则有PA=PB=PC;
③若PC=5,PC⊥平面ABC,则△PCM面积的最小值为$\frac{15}{2}$;
④若PB=5,PB⊥平面ABC,则三棱锥P-ABC的外接球体积为$\frac{{125\sqrt{2}π}}{3}$;
其中正确命题的个数是(  )
A.1B.2C.3D.4

分析 ①根据空间中的垂直关系,能得出三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形;
②根据空间中的垂直关系与三角形全等,得出PA=PB=PC;
③根据图形求出△PCM面积的最小值为6,不是$\frac{15}{2}$;
④利用直三棱锥P-ABC的外接球是以AC、BC、PB为棱长的长方体的外接球,
求出它的体积即可.

解答 解:对于①,如图0所示,
PA⊥平面ABC,
AC?平面ABC,∴PA⊥AC,∴△PAC是直角三角形;
同理,△PAB是直角三角形,
又△ABC的三边长分别为AB=5,BC=4,AC=3,
∴AB2=AC2+BC2
∴AC⊥BC,△ABC是直角三角形;
又PA⊥BC,PA∩AC=A,
∴BC⊥平面PAC,
∴BC⊥PC,∴△PBC是直角三角形;
即三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形,①正确;
对于②,如图1所示,
∵△ABC是直角三角形,
且M是AB的中点,
∴MA=MB=MC;
又PM丄平面ABC,
∴Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC,
∴PA=PB=PC,②正确;
对于③,如图2所示,
当PC⊥面ABC时,
∴△PCM的面积为$\frac{1}{2}$×PC×CM=$\frac{1}{2}$×5×CM
又∵CM作为垂线段时最短.为$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$,
∴△PCM面积的最小值为$\frac{1}{2}$×5×$\frac{12}{5}$=6,③不正确;
对于④,如图3所示,
当PB=5,PB⊥平面ABC时,AB=5,BC=4,AC=3,
∴直三棱锥P-ABC的外接球可以看做是
AC=3,BC=4,PB=5为棱长的长方体的外接球,
∴2R=PA=5$\sqrt{2}$,
∴R=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$,
其体积为$\frac{4π}{3}$•${(\frac{5\sqrt{2}}{2})}^{3}$=$\frac{125\sqrt{2}π}{3}$,④正确.
综上,正确的命题为①②④.
故选:C.

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题,也考查了空间中的角与距离的计算问题,是综合性题目.

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