题目内容
【题目】已知函数f（x）=x2+2bx+c，且f（1）=f（3）=﹣1．设a＞0，将函数f（x）的图像先向右平移a个单位长度，再向下平移a2个单位长度，得到函数g（x）的图像． （Ⅰ）若函数g（x）有两个零点x1 ， x2 ， 且x1＜4＜x2 ， 求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设连续函数在区间[m，n]上的值域为[λ，μ]，若有 
，则称该函数为“陡峭函数”．若函数g（x）在区间[a，2a]上为“陡峭函数”，求实数a的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）由 
， 即f（x）=x2﹣4x+2，
由题设可知g（x）=（x﹣a）2﹣4（x﹣a）+2﹣a2=x2﹣（2a+4）x+4a+2，
因为g（x）有两个零点x1 ， x2 ， 且x1＜4＜x2 ，
∴g（4）=16﹣4（2a+4）+4a+2＜0， 
，
又a＞0，于是实数a的取值范围为 
．
（Ⅱ）由g（x）=x2﹣（2a+4）x+4a+2可知，其对称轴为x=a+2，
①当0＜a≤2时，a+2≥2a，函数g（x）在区间[a，2a]上单调递减，
最小值λ=g（2a）=﹣4a+2，最大值μ=g（a）=﹣a2+2，
则 
，显然此时a不存在，
②当2＜a≤4时，a＜a+2＜2a，最小值λ=g（a+2）=﹣a2﹣2，
又 
，最大值μ=g（a）=﹣a2+2，则 
， 
，又2＜a≤4，此时a亦不存在，
③当a＞4时，a＜a+2＜2a，最小值λ=g（a+2）=﹣a2﹣2，
又 
，故最大值μ=g（2a）=﹣4a+2，
则 
， 
，即 
，
综上可知，实数a的取值范围为 
【解析】（Ⅰ）由f（1）=f（3）=﹣1求出b，c值，得到函数f（x）的解析式，进而可得函数g（x）的解析式，由函数g（x）有两个零点x1 ， x2 ， 且x1＜4＜x2 ， 可得g（4）＜0，解得实数a的取值范围； （Ⅱ）根据已知中“陡峭函数”的定义，结合二次函数的图像和性质，分类讨论，可得满足条件的实数a的取值范围．
全能测控期末小状元系列答案
【题目】为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，相关部门随机调查了该社区5户家庭，得到如表统计数据表：
收入x（万元） | 8.2 | 8.6 | 10.0 | 11.3 | 11.9 |
支出y（万元） | 6.2 | 7.5 | 8.0 | 8.5 | 9.8 |
（1）根据上表可得回归直线方程 
= 
x+ 
，其中 =0.76， = 
﹣ 
，据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭年支出为多少？
（2）若从这5个家庭中随机抽选2个家庭进行访谈，求抽到家庭的年收入恰好一个不超过10万元，另一个超过11万元的概率．
