题目内容
【题目】在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a+b+c=8. (Ⅰ)若a=2,b= ,求cosC的值;
(Ⅱ)若sinAcos2 +sinBcos2
=2sinC,且△ABC的面积S=
sinC,求a和b的值.
【答案】解:(Ⅰ)∵a=2,b= ,且a+b+c=8, ∴c=8﹣(a+b)=
,
∴由余弦定理得:cosC= =
=﹣
;
(Ⅱ)由sinAcos2 +sinBcos2
=2sinC可得:sinA
+sinB
=2sinC,
整理得:sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC,
∵sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC,
∴sinA+sinB=3sinC,
利用正弦定理化简得:a+b=3c,
∵a+b+c=8,
∴a+b=6①,
∵S= absinC=
sinC,
∴ab=9②,
联立①②解得:a=b=3
【解析】(Ⅰ)由a+b+c=8,根据a=2,b= 求出c的长,利用余弦定理表示出cosC,将三边长代入求出cosC的值即可;(Ⅱ)已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形,再利用正弦定理得到a+b=3c,与a+b+c=8联立求出a+b的值,利用三角形的面积公式列出关系式,代入S=
sinC求出ab的值,联立即可求出a与b的值.
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