Question

16．已知向量$\overrightarrow{p}$=（a_n，-2ⁿ），$\overrightarrow{q}$=（2ⁿ⁺¹，a_n+1），n∈N^*，向量$\overrightarrow{p}$ 与$\overrightarrow{q}$ 垂直，且a₁=1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log_2（a_n+1），求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过向量$\overrightarrow{p}$ 与$\overrightarrow{q}$ 垂直可知$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=0，代入计算、整理可知a_n+1=2a_n，进而可知数列{a_n}是以1为首项、2为公比的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知b_n=n，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{p}$ 与$\overrightarrow{q}$ 垂直，
∴$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=0，即（a_n，-2ⁿ）•（2ⁿ⁺¹，a_n+1）=0，
∴2ⁿ⁺¹a_n-2ⁿa_n+1=0，即a_n+1=2a_n，
又∵a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项、2为公比的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式${a}_{n}={2}^{n-1}$；
（2）由（1）可知b_n=log₂a_n+1=log₂2ⁿ=n，
∴S_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
2S_n=1×2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
两式错位相减得：-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ
=-1-（n-1）•2ⁿ，
∴数列{a_n•b_n}的前n项和S_n=1+（n-1）•2ⁿ．

点评 本题是一道关于数列与平面向量数量积的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．