Question

5．已知等差数列{a_n}的前6项和S₆=48，a₁=3．
（1）求通项公式a_n及其前n项的和S_n；
（2）求数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由等差数列的求和公式，计算可得d=2，即可得到所求通项公式；
（2）由$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），运用裂项相消求和方法，即可得到所求数列的求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则6a₁+$\frac{6×5}{2}$d=48，又a₁=3．
即有d=2，
则有a_n=a₁+（n-1）d=2n+1；
S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=3n+n（n-1）=n²+2n；
（2）$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
即有T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．