Question

6．已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足a₁=1，a_n+1=2$\sqrt{{S}_{n}}$+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，n∈N^*，求T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n=S_n-S_n-1计算、整理可知（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=2（a_n+1+a_n），进而可知数列{a_n}是首项为1、公差为2的等差数列，计算即得结论；
（2）通过（1）裂项可知b_n=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$•（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），利用分组法求和计算即得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=2$\sqrt{{S}_{n}}$+1，
∴4S_n=$（{a}_{n+1}-1）^{2}$，
∴当n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）
=$（{a}_{n+1}-1）^{2}$-$（{a}_{n}-1）^{2}$
=${{a}_{n+1}}^{2}$+2a_n-2a_n+1-${{a}_{n}}^{2}$，
整理得：（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=2（a_n+1+a_n），
又∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n+1-a_n=2（n≥2），
又∵${a}_{2}=2\sqrt{{S}_{1}}+1$=2+1=3=2+a₁满足上式，
∴a_n+1-a_n=2，
∴数列{a_n}是首项为1、公差为2的等差数列，
∴其通项公式a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{{n}^{2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{n}^{2}}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{4{n}^{2}-1+1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$•（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），n∈N^*，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=$\frac{1}{4}$n+$\frac{1}{8}$•（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{4}$n+$\frac{1}{8}$•（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{4}$n+$\frac{1}{8}$•$\frac{2n}{2n+1}$
=$\frac{n（n+1）}{2（2n+1）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．