题目内容
【题目】在四棱锥中,平面
平面
,平面
平面
.
(Ⅰ)证明:平面
;
(Ⅱ)若底面为矩形,
,
为
的中点,
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题(Ⅰ)由题意平面
,得到所以
,同理可证
,利用线面垂直的判定定理,即可证得
平面
;
(Ⅱ)分别以、
、
所在方向为
轴、
轴、
轴的正方向,建立空间直角坐标系
,求得向量
和平面
的一个法向量为
,利用向量的夹角公式,即可求解直线与平面所成的角的正弦值.
试题解析:
(Ⅰ)证法1:在平面内过点
作两条直线
,
,
使得,
.
因为,所以
,
为两条相交直线.
因为平面平面
,平面
平面
,
平面
,
,所以
平面
.所以
.同理可证
.又因为
平面
,
平面
,
,所以
平面
.
证法2:在平面内过点
作
,在平面
内过点
作
.
因为平面平面
,平面
平面
,
平面
,
,所以
平面
.同理可证
平面
.而过点
作平面
的垂线有且仅有一条,所以
与
重合.所以
平面
.所以,直线
为平面
与平面
的交线.所以,直线
与直线
重合.所以
平面
.
(Ⅱ)如图,分别以、
、
所在方向为
轴、
轴、
轴的正方向,建立空间直角坐标系
.设
,则
,
,
,
,
,
.
由为
的中点,得
;由
,得
.所以
,
,
.设平面
的一个法向量为
,
则,即
.取
,则
,
.所以
.
所以
.
所以,直线与平面
所成角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为弘扬中华传统文化,学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查,小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下:
小明阅读“经典名著”的阅读量(单位:字)与时间t(单位:分钟)满足二次函数关系,部分数据如下表所示;
t | 0 | 10 | 20 | 30 |
0 | 2700 | 5200 | 7500 |
阅读“古诗词”的阅读量(单位:字)与时间t(单位:分钟)满足如图1所示的关系.
(1)请分别写出函数和
的解析式;
(2)在每天的一小时课外阅读活动中,小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间,使每天的阅读量最大,最大值是多少?
【题目】近年来,共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活,并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众,某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统,以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出
条较为详细的评价信息进行统计,车辆状况的优惠活动评价的
列联表如下:
对优惠活动好评 | 对优惠活动不满意 | 合计 | |
对车辆状况好评 | |||
对车辆状况不满意 | |||
合计 |
(1)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系?
(2)为了回馈用户,公司通过向用户随机派送骑行券.用户可以将骑行券用于骑行付费,也可以通过
转赠给友.某用户共获得了
张骑行券,其中只有
张是一元券.现该用户从这
张骑行券中随机选取
张转赠给好友,求选取的
张中至少有
张是一元券的概率.
参考数据:
参考公式:,其中
.