题目内容

已知数列的前项和为的等差中项().
(Ⅰ)证明数列为等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)是否存在正整数,使不等式)恒成立,若存在,求出的最大值;若不存在,请说明理由.

(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在符合要求的正整数,且其最大值为11.

解析试题分析:(Ⅰ)的等差中项,可得到,(),证明数列为等比数列;只需证明为一个与无关的常数即可,这很容易证出;(Ⅱ)求数列的通项公式,由(Ⅰ)可得,即,这样问题转化为已知,利用时,,当时,,可求出数列的通项公式,值得注意的是,用此法求出的需验证时,是否符合,若不符合,须写成分段形式;(Ⅲ)是否存在正整数,使不等式)恒成立,若存在,求出的最大值;若不存在,请说明理由,这是一个探索性命题,解此类题往往先假设其成立,作为条件若能求出的范围,就存在正整数,使不等式)恒成立,若求不出的范围,就不存在正整数,使不等式)恒成立,此题为奇数时,对任意正整数不等式恒成立;只需讨论当为偶数时,可解得,所以存在符合要求的正整数,且其最大值为11.
试题解析:(Ⅰ)因为的等差中项,所以),即,(),由此得),又,所以 ),所以数列是以为首项,为公比的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,即), 所以,当时,,又时,也适合上式, 所以
(Ⅲ) 原问题等价于)恒成立.当为奇数时,对任意正整数不等式恒成立;当为偶数时,等价于恒成立,令,则等价于恒成立, 因为

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