题目内容
【题目】如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，
底面ABCD，点M为PC中点，
，
，
.
（1）求异面直线AP与BM所成角的余弦值；
（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)
;(2)
【解析】
(1)以
为原点,
,
,
方向为
轴,
轴,
轴正方向,建立空间直角坐标系,再利用向量法即可求解;
(2)求出平面
的一个法向量和平面
的一个法向量,再利用向量法求解即可.
(1)因为
是菱形,所以
,又
底面,
故以为原点,,,方向为轴,轴,轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系,
则
,0,
,
,1,,
,0,
,
,0,,
,0,
,
所以
,0,,
,
,,
,
,
故直线
与
所成角的余弦值为;
(2)
,1,,,,,
设平面的一个法向量为
,,
,
则
,令
,得
,4,
,
又平面的一个法向量为
,1,,
,
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
名校课堂系列答案
【题目】某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S =" x" + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:
产品编号 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 |
质量指标(x, y, z) | (1,1,2) | (2,1,1) | (2,2,2) | (1,1,1) | (1,2,1) |
产品编号 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 |
质量指标(x, y, z) | (1,2,2) | (2,1,1) | (2,2,1) | (1,1,1) | (2,1,2) |
(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,
(1) 用产品编号列出所有可能的结果;
(2) 设事件B为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率.
【题目】政府工作报告指出，2018年我国深入实施创新驱动发展战略，创新能力和效率进一步提升；2019年要提升科技支撑能力，健全以企业为主体的产学研一体化创新机制.某企业为了提升行业核心竞争力，逐渐加大了科技投入；该企业连续6年来的科技投入
（百万元）与收益
（百万元）的数据统计如下：
科技投入 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
收益 |
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根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线
的周围，据此他对数据进行了一些初步处理，如下表：
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其中
，
.
(1)（i）请根据表中数据，建立关于
的回归方程（保留一位小数）；
（ii）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年的收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少（其中
）？
(2)乙认为样本点分布在二次曲线
的周围，并计算得回归方程为
，以及该回归模型的相关指数
，试比较甲、乙两位员工所建立的模型，谁的拟合效果更好.
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
，相关指数：
.
