Question

【题目】已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求的值；

（2）判断并证明函数的单调性；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）在上为减函数，证明见解析；（3）

【解析】

（1）由是上的奇函数，可得，可求出的值；

（2）由（1）可知的表达式，任取，且，比较与0的大小关系，可得出函数的单调性；

（3）由是奇函数，可将不等式转化为，再结合函数是上的减函数，可知对一切，恒成立，令即可求出答案.

（1）因为是上的奇函数，所以，即，即.

经验证，

故时，满足题意.

（2）由（1）知，，

任取，且，则，

函数在上是增函数，所以.

又，则，即，

∴在上为减函数.

（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，

又因为为上减函数，所以由上式推得，

即对一切，恒成立，

则，即.