题目内容
【题目】已知函数(
).
(1)若,证明:当
时,
;
(2)若对于任意的且
,都有
,求
的取值集合.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)将问题转化为当时,
,利用导数得到
的单调性和最值,进行证明;(2)通过函数端值得到
,将问题等价于当
时,
,对
进行分类,通过导数得到
的单调性,从而得到符合要求的
.
(1)当时,
,
要证当时,
,
即证当时,
令,
当时,
,
在
内单调递减
当时,
,
在
内单调递增,
故.证毕.
(2)先分析端值,当时,
,
,
要使,需有
,即
;
当时,
,
,
要使,需有
;
故必须有.
由知其分子恒正,
令,
于是问题等价于当时,
;
当时,
.
注意到.
①当时
,
此时当时,
,
在
单调递减,
于是,这不符合题意;
②当时,
,得
,
.
(i)当时,
,
,
在
单调递增,
结合可知符合题意;
(ii)当时,
,此时当
时
,
于是在在
单调递减,
故在内
,这不符合题意;
(iii)当时,
,此时当
时
,
于是在在
单调递减,
故在内
,这不符合题意;
综上:符合题意的取值集合为
.
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