题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
的离心率为
,短轴长为2.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设P为椭圆上顶点,点A是椭圆C上异于顶点的任意一点,直线交x轴于点M,点B与点A关于x轴对称,直线
交x轴于点N.问:在y轴的正半轴上是否存在点Q,使得
?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)存在点
满足题意.
【解析】
(Ⅰ)利用椭圆的几何性质建立方程组求解基本量得椭圆的标准方程;(Ⅱ)设出点B的坐标,写出直线的方程,求出N点坐标,同理求出M点坐标,利用直角三角形中正切函数的定义建立方程,结合椭圆方程即可求解.
解:(Ⅰ)设椭圆的焦距为,
由题可知解得
.
所以椭圆C的标准方程为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
设,
则直线的方程为
.
令,得
,即
.
因为点B与点A关于x轴对称,所以.
则直线的方程为
.
令,得
,即
.
假设存在点,
使得.
由,
得,即
.
因为,
所以.
又,所以
.
经验证,当时,
.
所以在y轴的正半轴上存在点,
使得.
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