题目内容
【题目】椭圆中心是原点O,它的短轴长为 ,右焦点F(c,0)(c>0),它的长轴长为2a(a>c>0),直线l:
与x轴相交于点A,|OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
(1)求椭圆的方程和离心率;
(2)若 ,求直线PQ的方程;
(3)设 (λ>1),过点P且平行于直线l的直线与椭圆相交于另一点M,证明:
.
【答案】
(1)解:如图,
设椭圆方程为 .
由|OF|=2|FA|,得c=2( ),整理得:3c2=2a2,∴e=
.
联立 ,解得:a2=6,b2=2.
∴椭圆的方程为 ,离心率
.
(2)解:由题意可知直线l的斜率显然存在,设其斜率为k(k≠0),且A(3,0).
则直线l的方程为y=k(x﹣3),设P(x1,y1),Q(x2,y2).
联立 ,得:(1+3k2)x2﹣18k2x+27k2﹣6=0.
由△=(﹣18k2)2﹣4(1+3k2)(27k2﹣6)=12(2﹣3k2)>0,得: .
,
.
由 ,得x1x2+y1y2=0.
即x1x2+(kx1﹣3k)(kx2﹣3k)=
= =0.
化简得: ,∴k=
,满足
.
(3)解: ,
,
由已知得方程组 ,解得:
.
∵F(2,0),M(x1,﹣y1).
故 =(λ(x2﹣3)+1,﹣y1)
= =
.
而 .
∴ .
【解析】(1)首先由条件|OF|=2|FA|列式,求出椭圆的离心率,然后结合短轴长2b= 及a2=b2+c2可求a2 , 则椭圆方程可求;(2)写出过点A的直线方程,设出直线与椭圆相交于P、Q两点的坐标,联立直线方程和椭圆方程后求出P、Q两点的横坐标的和与积,由
,得到P、Q两点的坐标的关系,转化为横坐标的关系后,把前面得到的和与积的表达式代入即可求出直线的斜率,则直线方程可求;(3)由向量的坐标表示写出
,
,再由
(λ>1)及P,Q两点的坐标都适合椭圆方程列式找出P,Q两点的坐标与λ的关系,最后把要证的等式的两边的坐标都用λ和纵坐标表示即可得证.
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本,需要知道椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
.
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