Question

【题目】已知数列{an}的各项均为正，Sn为数列{an}的前n项和，an2+2an＝4Sn+3．

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn，求数列{bn}的前n项和．

Answer 1

【答案】（1）an＝2n+1；（2）2．

【解析】

（1）根据题意求出首项，再由（an+12+2an+1）﹣（an2+2an）＝4an+1，求得该数列为等差数列即可求得通项公式；

（2）利用错位相减法进行数列求和.

（1）∵an2+2an＝4Sn+3，

∴a12+2a1＝4S1+3，即，

解得：a1＝3或a1＝﹣1（舍），

又∵an+12+2an+1＝4Sn+1+3，

∴（an+12+2an+1）﹣（an2+2an）＝4an+1，

整理得：（an+1﹣an）（an+1+an）＝2（an+1+an），

又∵数列{an}的各项均为正，

∴an+1﹣an＝2，

∴数列{an}是首项为3、公差为2的等差数列，

∴数列{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；

（2）由（1）可知bn，

记数列{bn}的前n项和为Tn，则

Tn＝35（2n+1），

Tn＝35…+（2n﹣1）（2n+1），

错位相减得：Tn＝1+2（）﹣（2n+1）

＝12

，

∴Tn（）＝2．