题目内容
【题目】已知函数,
为
的导数.
(Ⅰ)求曲线在点
处的切线方程;
(Ⅱ)证明:在区间
上存在唯一零点;
(Ⅲ)设,若对任意
,均存在
,使得
,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ)将代入
求出切点坐标,由题可得
,将
代入
求出切线斜率,进而求出切线方程。
(Ⅱ)设,则
,由导函数研究
的单调性进,而得出答案。
(Ⅲ)题目等价于,易求得
,利用单调性求出
的最小值,列不等式求解。
(Ⅰ),所以
,即切线的斜率
,且
,从而曲线
在点
处的切线方程为
.
(Ⅱ)设,则
.
当时,
;当
时,
,所以
在
单调递增,在
单调递减.
又,故
在
存在唯一零点.
所以在
存在唯一零点.
(Ⅲ)由已知,转化为, 且
的对称轴
所以
.
由(Ⅱ)知,在
只有一个零点,设为
,且当
时,
;当
时,
,所以
在
单调递增,在
单调递减.
又,所以当
时,
.
所以,即
,因此,
的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额(单位:元),如下图所示:
(1)将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”,现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人,求至少有 1 位消费者,其去年的消费金额超过 4000 元的概率;
(2)针对这些消费者,该健身机构今年欲实施入会制,详情如下表:
会员等级 | 消费金额 |
普通会员 | 2000 |
银卡会员 | 2700 |
金卡会员 | 3200 |
预计去年消费金额在内的消费者今年都将会申请办理普通会员,消费金额在
内的消费者都将会申请办理银卡会员,消费金额在
内的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时,需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动,现有如下两种预设方案:
方案 1:按分层抽样从普通会员, 银卡会员, 金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元; 银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元; 金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.
方案 2:每位会员均可参加摸奖游戏,游戏规则如下:从-个装有 3 个白球、 2 个红球(球只有颜色不同)的箱子中, 有放回地摸三次球,每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为 2,则可获得 200 元奖励金; 若摸到红球的总数为 3,则可获得 300 元奖励金;其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏;每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏;每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立) .
以方案 2 的奖励金的数学期望为依据,请你预测哪-种方案投资较少?并说明理由.