Question

12．已知函数f（x）=x²${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，则${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=0．

Answer 1

分析 令${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=c，得到f（x）=cx²，代入${∫}_{0}^{1}$f（x）dx求积分，可求出c值，则答案可求．

解答 解：设${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=c，则f（x）=cx²，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$cx²dx=$\frac{c}{3}{x}^{3}{|}_{0}^{1}=\frac{c}{3}$=c，
∴c=0，即${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=0．
故答案为：0．

点评 本题考查了定积分的计算，关键适当换元，得到方程解出${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，是基础题．