Question

【题目】已知向量a=cosωx+1,2sinωx,b=cosωx-,cosωx), ω>0.

(Ⅰ)当ωx≠kπ+,k∈Z时,若向量c=(1,0),d=(,0),且(a-c)∥(b+d),求4sin2ωx-cos2ωx的值;

(Ⅱ)若函数f(x)=a·b的图象的相邻两对称轴之间的距离为,当x∈[],g时,求函数f(x)的单调递增区间.

Answer 1

【答案】(1)-.(2)[-, -]和[-.

【解析】试题分析：(1)根据题意得到cos2ωx-2sinωxcosωx=0，tanωx=，将式子进行齐次化得到结果即可；（2）由题意得,f(x)=a·b=2sin(2ωx+)，令2kπ≤4x+≤2kπ+，进而解得单调区间.

解析：

(I)因为a-c=(cosωx,2sinωx),b+d=(cosωx,cosωx)

所以由(a-c)∥(b+d),得cos2ωx-2sinωxcosωx=0,

因为ωx≠kπ+,k∈Z,所以 cosωx≠0,则 tanωx=,

所以4sin2ωx===-.

(Ⅱ)由题意得,f(x)=a·b=(cosωx+1)( cosωx-)+2 sinωx cosωx

=(2cos2ωx-1)+sin 2ωx

= cos 2ωx +sin 2ωx

=2sin(2ωx+)

因为相邻两对称轴之间的距离为,所以·=→ω=2,

故f(x)=2sin(4x+)

令2kπ≤4x+≤2kπ+,解得是≤x≤kπ+,k∈Z

又因为x∈[-,],

所以,取k=-1,0,可得∫(x)的单调递增区间是[-, -]和[-.