题目内容
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD∥BC,CD=13,AB=12,BC=10,AD=5,PD=8,点E,F分别是PB,DC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求EF与平面PDB所成角的正弦值.
【答案】
(1)证明:取CB的中点G,连结DG,因为AD∥BG且AD=BD,
所以四边形ABGD为平行四边形,
所以DG=AB=12,
又因为AB⊥AD,
所以DG⊥AD,
又PD⊥平面ABCD,
故以点D原点建立如图所示的空间直角坐标系.…
因为BC=10,AD=5,PD=8,
所以有D(0,0,0),P(0,0,8),B(12,5,0),C(12,﹣5,0),
因为E,F分别是PB,DC的中点,
所以E(6,﹣2.5,0),F(6,2.5,4),
因为PD⊥平面ABCD,DG平面ABCD,
所以PD⊥DG,
又因为DG⊥AD,AD∩PD=D,AD,PD平面PAD,
所以DG⊥平面PAD,
所以 =(12,0,0)为平面PAD的一个法向量,
又 =(0,5,4), =0,
所以 ,
又EF平面PAD,所以EF∥平面PAD;
(2)设平面PAD的法向量为 =(x,y,z),
所以 ,即 ,即 ,
令x=5,则 =(5,﹣12,0)…
所以EF与平面PDB所成角θ满足:
sinθ= = = ,
所以EF与平面PDB所成角的正弦值为
【解析】(1)先建立空间直角坐标系,再找出平面PAD的一个法向量,进而利用两个向量垂直可证EF∥平面PAD;(2)先找出平面PAD的法向量,再利用线面夹角公式可得EF与平面PDB所成角的正弦值.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行;已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则即可以解答此题.