题目内容

【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD∥BC,CD=13,AB=12,BC=10,AD=5,PD=8,点E,F分别是PB,DC的中点.

(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求EF与平面PDB所成角的正弦值.

【答案】
(1)证明:取CB的中点G,连结DG,因为AD∥BG且AD=BD,

所以四边形ABGD为平行四边形,

所以DG=AB=12,

又因为AB⊥AD,

所以DG⊥AD,

又PD⊥平面ABCD,

故以点D原点建立如图所示的空间直角坐标系.…

因为BC=10,AD=5,PD=8,

所以有D(0,0,0),P(0,0,8),B(12,5,0),C(12,﹣5,0),

因为E,F分别是PB,DC的中点,

所以E(6,﹣2.5,0),F(6,2.5,4),

因为PD⊥平面ABCD,DG平面ABCD,

所以PD⊥DG,

又因为DG⊥AD,AD∩PD=D,AD,PD平面PAD,

所以DG⊥平面PAD,

所以 =(12,0,0)为平面PAD的一个法向量,

=(0,5,4), =0,

所以

又EF平面PAD,所以EF∥平面PAD;


(2)设平面PAD的法向量为 =(x,y,z),

所以 ,即 ,即

令x=5,则 =(5,﹣12,0)…

所以EF与平面PDB所成角θ满足:

sinθ= = =

所以EF与平面PDB所成角的正弦值为


【解析】(1)先建立空间直角坐标系,再找出平面PAD的一个法向量,进而利用两个向量垂直可证EF∥平面PAD;(2)先找出平面PAD的法向量,再利用线面夹角公式可得EF与平面PDB所成角的正弦值.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行;已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则即可以解答此题.

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