Question

【题目】设命题p：直线mx﹣y+1=0与圆（x﹣2）2+y2=4有公共点；设命题q：实数m满足方程 + =1表示双曲线．
（1）若“p∧q”为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：若命题p：直线mx﹣y+1=0与圆（x﹣2）2+y2=4有公共点是真命题，

则圆心（2，0）到直线mx﹣y+1=0的距离不大于半径，

即 ，

解得： ．

∴命题p真时， ．

命题p假时， ．

命题q：实数m满足方程 + =1表示双曲线是真命题，

则（m﹣1）（2﹣m）＜0，解得m＜1或m＞2．

命题q假时，1≤m≤2．

若“p∧q”为真命题，则p真q真，∴ ，解得m≤ ．

∴实数m的取值范围为：（﹣∞， ]；

（2）解：若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p、q一真一假，

当p真q假时，则 ，不存在满足条件的m值．

当p假q真时，则 ，解得 ．

综上，实数m的取值范围为：（ ，1）．

【解析】求出p，q成立的等价条件，（Ⅰ）若“p∧q”为真命题，则p真q真，即可求实数m的取值范围；（Ⅱ）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p、q一真一假，当p真q假时，求出m的取值范围，当p假q真时，求出m的取值范围，然后取并集即可得答案．
【考点精析】本题主要考查了复合命题的真假的相关知识点，需要掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真才能正确解答此题．