Question

12．已知复数z=1+i．
（Ⅰ）若w=z²+3$\overline{z}$-4，求w的值；
（Ⅱ）若$\frac{{z}^{2}+az+b}{{z}^{2}-z+1}$=1-i，求|a+bi|的值．

Answer 1

分析 （I）把z=1+i代入ω利用复数的运算法则即可得出．．
（II）把z=1+i代入$\frac{{z}^{2}+az+b}{{z}^{2}-z+1}$，利用复数的运算法则可得（a+b）+（a+2）i=1+i，利用复数相等与模的计算公式即可得出．

解答 解：（I）ω=（1+i）²+3（1-i）-4=2i+3-3i-4=-1-i．
（II）∵$\frac{{z}^{2}+az+b}{{z}^{2}-z+1}$=$\frac{（1+i）^{2}+a（1+i）+b}{（1+i）^{2}-（1+i）+1}$=$\frac{（a+b）+（a+2）i}{i}$=1-i，
∴（a+b）+（a+2）i=1+i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{a+2=1}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=2．
∴|a+bi|=|-1+2i|=$\sqrt{（-1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数相等与模的计算公式，考查了计算能力，属于中档题．