题目内容
(本小题满分l2分)
已知函数
(1)若,求函数的极小值;
(2)设函数,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等,若存在,请求出的范围,若不存在,请说明理由?
(1)极小值 (2)不存在
解析试题分析:(I)由已知得,
则当时,可得函数在上是减函数,
当时,可得函数在上是增函数,
故函数的极小值为;
(Ⅱ)若存在,设,则对于某一实数,方程在上有三个不同的实数根,设,
则有两个不同的零点,即关于的方程有两个不同的解
,
则,
设,则,故在上单调递增,
则当时,即,
又,则故在上是增函数,
则至多只有一个解,故不存。
方法二:关于方程的解,
当时,由方法一知,此时方程无解;
当时,可以证明是增函数,此方程最多有一个解,故不存在。
考点:利用导数研究函数的单调性;极值;函数的零点.
点评:本题考查函数的单调区间的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法.综合性强,难度大,具有一定的探索性.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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