Question

【题目】某矩形花坛ABCD长AB=3m，宽AD=2m，现将此花坛在原有基础上有拓展成三角形区域，AB、AD分别延长至E、F并使E、C、F三点共线．

（1）要使三角形AEF的面积大于16平方米，则AF的长应在什么范围内？
（2）当AF的长度是多少时，三角形AEF的面积最小？并求出最小面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：设DF=x，AF=x+2，

∵△FDC∽△CBE，

∴ = ，

∴BE= ，

∴S△AEF= （x+2）（ +3）= （12+3x+ ），

∵三角形AEF的面积大于16平方米，

∴ （12+3x+ ）＞16，

∴（3x﹣2）（x﹣6）＞0，

∴x＞6或0＜x＜ ，

∴2＜AF＜ 或AF＞8

（2）解： ，

当 ，即AF=4时取得最小

【解析】（1）由题意设出DF=x，AF=x+2，因为△FDC∽△CBE，则对应线段成比例可知BE，表示出三角形AEF的面积，令其大于16得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可；（2）利用基本不等式得出函数的最小值即可．
【考点精析】利用基本不等式在最值问题中的应用对题目进行判断即可得到答案，需要熟知用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”．