Question

【题目】某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形.
（1）求出f(5)的值.
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式.

Answer 1

【答案】
（1）f(5)=41.

（2）因为f(2)-f(1)=4=4×1，

f(3)-f(2)=8=4×2，

f(4)-f(3)=12=4×3，

f(5)-f(4)=16=4×4，

…

由上式规律，所以得出f(n+1)-f(n)=4n.

因为f(n+1)-f(n)=4nf(n+1)=f(n)+4n

f(n)=f(n-1)+4(n-1)

=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)

=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)

=…

=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4

=2n2-2n+1.

【解析】找出第n+1项和第n项之间的关系，再利用数列中由递推数列推导通项数列的方法求f(n)