题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求证:函数
有且仅有一个零点;
(Ⅲ)当时,写出函数
的零点的个数.(只需写出结论)
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)当
时,
有一个零点;当
且
时,
有两个零点.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求得函数的导函数,得到,
,进而得到切线的方程.
(Ⅱ)当时,求得函数
的导数,得
,则
为单调递增函数,又由
,进而得到
在
单调递减,在
单调递增,所以函数
的最小值为
,即可证明结论;
(Ⅲ)根据函数的单调性和极值,可得当和
且
时时,
零点的个数.
试题解析:
(Ⅰ)因为函数,所以
故,
, 曲线
在
处的切线方程为
(Ⅱ)当时,令
,则
故是
上的增函数.
由,故当
时,
,当
时,
.
即当时,
,当
时,
.
故在
单调递减,在
单调递增.
函数的最小值为
,由
,故
有且仅有一个零点.
(Ⅲ)当时,
有一个零点;当
且
时,
有两个零点.
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练习册系列答案
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区开设分店.为了确定在该区开设分店的个数,该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记
表示在各区开设分店的个数,
表示这
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| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2.5 | 3 | 4 | 4.5 | 6 |
(Ⅰ)该公司已经过初步判断,可用线性回归模型拟合与
的关系,求
关于
的线性回归方程;
(Ⅱ)假设该公司在区获得的总年利润
(单位:百万元)与
之间的关系为
,请结合(Ⅰ)中的线性回归方程,估算该公司应在
区开设多少个分店,才能使
区平均每个分店的年利润最大?
参考公式:
,
,
.