题目内容
【题目】已知椭圆与直线
都经过点
.直线
与
平行,且与椭圆
交于
两点,直线
与
轴分别交于
两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)证明: 为等腰三角形.
【答案】(1) ;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)将点M分别代入直线方程及椭圆方程,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;
(2)设直线m的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式求得kMA+kMB=0,即可求得△MEF为等腰三角形.
试题解析:
(1)由直线都经过点
,则a=2b,将
代入椭圆方程:
,解得:b2=4,a2=16,椭圆
的方程为
。
(2)设直线为:
,
联立: ,得
于是
设直线的斜率为
,要证
为等腰三角形,只需
,
,
,
,
所以为等腰三角形.
点睛: 本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,直线的斜率公式,考查计算能力,证明三角形为等腰三角形转化为证明斜率之和为0是关键.
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