Question

【题目】在四棱锥中，底面是直角梯形， ，且 ，侧面底面是等边三角形.

（1）求证： ；

（2）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】(1)见解析（2）

【解析】试题分析：（1）先取AB 中点为O，连接PO，CO，根据条件得到PO⊥AB，再结合侧面PAB⊥底面ABCD，得到PO⊥底面ABCD，即可得到OC为PC在底面ABCD上的射影；最后结合△DAB≌△OBC得BD⊥OC即可得到结论;
（2）先取PC中点E，连接BE，DE，可以证得∠BED就是二面角B-PC-D的平面角；在通过求三角形BED的三边长，即可得到结论．

试题解析：

取AB 中点为O，连接PO，CO，

∵△PAB 是等边三角形，
∴PO⊥AB，
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
∴OC为PC在底面ABCD上的射影，
又∵AB=BC=2AD=2，∠ABC=∠DAB=∴△DAB≌△OBC，∴∠BCO=∠DBA，
∴BD⊥OC，∴BD⊥PC．
（2）取PC中点E，连接BE，DE，
∵PB=BC，
∴BE⊥PC，
又∵BD⊥PC，BE∩BD=B，
∴PC⊥平面BDE
，∴PC⊥DE，
∴∠BED就是二面角B-PC-D的平面角．
∵AB=BC=2AD=2，∠ABC=∴BE=PC= ，PD=BD= ∴DE=

∴BE2+DE2=BD2，
∴∠BED= 即二面角B-PC-D的大小为.