题目内容
4.平面内有n(n∈N*)个圆中,每两个圆都相交,每三个圆都不交于一点,若该n个圆把平面分成f(n)个区域,那么f(n)=n2-n+2.分析 根据题意,分析可得,f(n)-f(n-1)=2×(n-1),进而可得f(3)-f(2)=2×2,f(4)-f(3)=2×3,…f(n)-f(n-1)=2×(n-1),将这些式子相加可得:f(n)-f(2)=2×2+2×3+2×4+…+2×n=n(n+1),进而可得f(n),即可得答案.
解答 解:分析可得,n-1个圆可以将平面分为f(n-1)个区域,n个圆可以将平面分为f(n)个区域,
增加的这个圆即第n个圆与每个圆都相交,可以多分出2(n-1)个区域,
即f(n)-f(n-1)=2×(n-1),
则有f(3)-f(2)=2×2,
f(4)-f(3)=2×3,
f(5)-f(4)=2×4,
f(6)-f(5)=2×5,
…
f(n)-f(n-1)=2×(n-1),
将这些式子相加可得:f(n)-f(2)=2×2+2×3+2×4+…+2×n=n(n+1),
f(n)=2+(n-1)n=n2-n+2
故答案为:n2-n+2.
点评 本题主要考查归纳推理的运用,关键要根据题意,分析出每增加一个圆,可以多分出几个区域.
练习册系列答案
相关题目
13.函数$y=\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x}$的值域为( )
A. | $[{1,\sqrt{2}}]$ | B. | [2,4] | C. | $[{\sqrt{2},2}]$ | D. | $[{1,\sqrt{3}}]$ |